Решите задачу оптимального управления: \[\int_{-1}^2 -y + 9u \, dt \rightarrow \max, \quad (y^2)' = (y + 2u)y, \quad y(-1) = 0, \quad u \in [-1, 1] \]
Преобразуем уравнение для \(y'\): \[2yy' = y^2 + 2yu\] \[ y' = \frac{1}{2}y + u \] Важное замечание: выше мы поделили на \(y'\), отбросив случай \(y' = 0\). Его хорошо бы проверить
Теперь идем по пунктам.
1. Гамильтониан
\[ H = -y + 9u + \frac{1}{2} \lambda y + \lambda u = \] \[ = (9 + \lambda)u - y + \frac{1}{2}\lambda y \]
2. Максимум гамильтониана по управлению
Гамильтониан по управлению представляет собой линейную функцию. Управление может принимать значения от -1 до 1. В данной задаче максимум граничный и представляет собой следующий вид: \[ u = \begin{cases} 1, & \lambda > -9 \\ [-1,1], & \lambda = -9 \\ -1, & \lambda < -9 \\ \end{cases}\] Несложно убедиться, что это действительно так. Лямбда может принимать любое значение. Если она больше нуля, то управление входит в гамильтониан со знаком плюс и мы берем максимально большое его значение (то есть 1). Если лямбда меньше нуля, то управление входит со знаком минус и берем наименьшее возможное значение управления (в данной задаче это -1). Если же лямбда равна 0, то гамильтониан не зависит от управления, а потому можем выбрать любое значение.
3. Каноническая система
Сначала решаем уравнение для \(\lambda\): \[ \lambda' = - \frac{\partial H}{\partial y} = 1 -\frac{1}{2} \lambda \] \[ \lambda = C_1 e^{-\frac{1}{2} t} + 2 \]
Из условия трансверсальности (пункт 4) найдем константу: \[ \lambda(T) = 0 \Rightarrow C_1 e^{-1} + 2 = 0 \Rightarrow C_1 = -2e \] \[ \lambda(t) = -2e^{1-\frac{1}{2} t} + 2 \]
Видим, что на интервале \(t \in [-1, 2]\) значение \(\lambda\) больше -9, а значит \(u(t) = 1\).
Переходим ко второму уравнению (для \(y\)): \[ y' = \frac{1}{2} y + u = \frac{1}{2} y + 1 \] \[ y = C_2 e^{\frac{1}{2} t} - 2 \]
Из граничного условия найдем константу: \[ y(-1) = 0 \Rightarrow C_2 = 2e^{\frac{1}{2}} \]
Ответ:
Траектория \[ y(t) = 2e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} t} - 2 \] доставляет максимум функционалу при управлении \[u(t) = 1\]
Решите задачу оптимального управления: \[\int_0^2 y \, dt \rightarrow \max, \quad y' = y + u^2 + u, \quad y(0) = 1, \quad u \in [-1, 1] \]
Идем по пунктам.
1. Гамильтониан
\[ H = y + \lambda y + \lambda (u^2 + u) \]
2. Максимум гамильтониана по управлению
При попытке максимизировать Гамильтониан по управлению находим координату вершины параболы: \[ u = -\frac{1}{2}\] Обратим внимание, что при \(\lambda > 0\) Гамильтониан по управлению является параболой ветвями вверх, а значит максимум на границе (причем при \(u = 1\), так как она дальше от вершины параболы в точке \(u = -1/2\)). При \(\lambda < 0 \) это парабола ветвями вниз, а значит максимум в вершине (которая в данной задаче лежит внутри множества допустимых значений для управления). Поэтому, имеем: \[ u = \begin{cases} 1, & \lambda > 0 \\ [-1,1], & \lambda = 0 \\ -\frac{1}{2}, & \lambda < 0 \\ \end{cases}\]
3. Каноническая система
Сначала решаем уравнение для \(\lambda\): \[ \lambda' = - \frac{\partial H}{\partial y} = 1 - \lambda \] \[ \lambda = C_1 e^{- t} - 1 \]
Из условия трансверсальности (пункт 4) найдем константу: \[ \lambda(T) = 0 \Rightarrow C_1 e^{-2} - 1 = 0 \Rightarrow C_1 = e^{2} \] \[ \lambda(t) = e^{2-t} - 1 \]
Видим, что на интервале \(t \in [0, 2]\) значение \(\lambda \geqslant 0\), а значит \(u(t) = 1\).
Переходим ко второму уравнению (для \(y\)): \[ y' = y + u^2 + u = y + 2 \] \[ y = C_2 e^{t} - 2 \]
Из граничного условия найдем константу: \[ y(0) = 1 \Rightarrow C_2 = 3 \]
Ответ:
Траектория \[ y(t) = 3e^{t} - 2 \] доставляет максимум функционалу при управлении \[u(t) = 1\]