← Назад

Семинар 8. Оптимальное управление. Принцип максимума Понтрягина

Содержание

• Материалы
  • Видеозаписи
• Оптимальное управление
  • Постановка задачи
  • Принцип максимума Понтрягина
  • Задача 1
  • Задача 2
  • Задача 3

Материалы

Видеозаписи

Запись семинара: youtube (03.11.23)

Оптимальное управление

Постановка задачи

В вариационном исчислении мы рассматривали следующую задачу: \[ \int_0^T F(t,y,y') \, dt \rightarrow extr, \quad y(0) = y_0, \, y(T) = y_T \]

В оптимальном управлении возникает новое понятие - управление (обозначается как \(u(t)\)). Простой пример: машина движется по прямой, в начальный и конечный момент времени скорость равна нулю. Степень нажатия педали газа в такой задаче будет управлением (меняющимся от 0 до 1, где ноль это отпущенная педаль, а единица - педаль,нажатая "в пол").

Формально, задача оптимального управления может быть записана следующим образом: \[ \int_0^T F(t,y,u) \, dt \rightarrow \max \] \[ y' = f(t,y,u), \quad y(0) = y_0, \quad u \in U \]

Ремарка: далеко не всегда известно только начальное граничное условие. Может быть известно и конечное (но при этом может быть неизвестен конечный момент времени \(T\)).

В данной задаче важно следующее:

• \(y(t)\) непрерывен
• \(u(t)\) может иметь разрывы первого рода (устранимые, такие что пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу)

Принцип максимума Понтрягина

Теорема. Для нахождения аналитического решения задачи оптимального управления можно использовать принцип максимума Понтрягина:

1. Выписываем гамильтониан: \[ H = F(t,y,u) + \lambda (t) f(t,y,u) \]

2. Находим максимум гамильтониана по управлению: \[ \max_{u \in U} H \] Важно отметить, что максимум может быть как внутренний, так и граничный

3. Решаем каноническую систему: \[ y' = \frac{\partial H}{\partial \lambda} \quad \land \quad \lambda' = - \frac{\partial H}{\partial y} \]

4. Для нахождения константы для уравнения для \(\lambda\) используем условие трансверсальности: \[ \left[ \lambda(t) \right]_{t=T} \Delta y_T + \left[ H \right]_{t=T} \Delta T = 0 \]

   Замечание: для постановки задачи выше, где неизвестен \(y(T)\), условие превращается в \(\lambda(T) = 0\). Но в общем случае условие трансверсальности записано выше (оно пригодится на следующих семинарах).

Задача 1

Решите задачу оптимального управления: \[\int_0^2 y - u^2 \, dt \rightarrow \max, \quad y' = u, \quad y(0) = 0, \quad u \in \mathbb{R} \]

Задача 2

Решите задачу оптимального управления: \[\int_0^4 3y \, dt \rightarrow \max, \quad y' = y + u, \quad y(0) = 5, \quad u \in [0, 2] \]

Задача 3

Решите задачу оптимального управления: \[\int_{-1}^2 3y - 9u \, dt \rightarrow \max, \quad y' = y + 3u, \quad y(-1) = 0, \quad u \in [0, 1] \]