← Назад

Семинар 6. Достаточные условия экстремума. Простейшая портфельная задача

Содержание

• Материалы
  • Видеозаписи
• Достаточные условия экструмема
  • Условия Лежандра
  • Задача 1
  • Задача 2
  • Задача 3
• Простейшая портфельная задача

Материалы

Видеозаписи

Запись семинара: youtube (15.10.23)

Достаточные условия экструмема

Условия Лежандра

Теорема. Функция \(y(t)\) является слабым минимумом (максимумом) вариационной задачи, если

1. Функция \(y(t)\) - решение уравнение Эйлера и удовлетворяет граничным условиям
2. \(y(t)\) может быть включена в поле экстремалей
3. \(y(t)\) удовлетворяет усиленному условию Лежандра: \[ F_{y'y'} > 0 \quad (F_{y'y'} < 0) \] на кривой \(y(t)\).

Теорема. Функция \(y(t)\) является сильным минимумом (максимумом) вариационной задачи, если

1. Функция \(y(t)\) - решение уравнение Эйлера и удовлетворяет граничным условиям
2. \(y(t)\) может быть включена в поле экстремалей
3. \(y(t)\) удовлетворяет условию Лежандра: \[ F_{y'y'} \geq 0 \quad (F_{y'y'} \leq 0) \] для любого \(y'\) и в некоторой окрестности \((t,y)\) рассматриваемой кривой.

Важное замечание: если не выполнен 2 и/или 3 пункт, то мы не можем утверждать, что полученное нами решение уравнения Эйлера не является экстремумом. Всё что мы можем сказать, это то, что с помощью теорем выше мы не можем ничего сказать о характере экстремума.

Задача 1

Исследовать функционал на экстремум \[ \int_0^2 ty' + y'^2 \, dt, \quad y(0) = 1, \, y(2) = 0 \]

Задача 2

Исследовать функционал на экстремум \[ \int_0^1 \frac{1}{y'} \, dt, \quad y(0) = 0, \, y(1) = 1 \]

Задача 3

Скоро будет. Пока можно посмотреть в записи семинара

Простейшая портфельная задача

Скоро будет. Пока можно посмотреть в записи семинара