Запись семинара: youtube (07.10.23)
По сути, дополнительное необходимое условие для задач с подвижным концом (либо неизвестно \(T\), либо \(y(T)\))
Теорема. Условие трансверсальности для задачи вариационного исчисления с функционалом вида \[ \int_{t_0}^{T} F(t, y(t), y'(t)) \, dt \] имеет вид \[ \left[ F - y'F_{y'} \right]_{t=T} \Delta T + \left[ F_{y'} \right]_{t=T} \Delta y_T = 0 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^{3\pi / 2} y'^2 + 4y \cos (t) - 8y \sin (t) \, dt, \quad y(0) = 1 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^T y'^2 + 2yy' - 16 y^2 \, dt, \quad y(0) = 0, \, y(T) = 0 \]
Устоявшееся название - задача Больца, но математика, её сформулировавшего, звали Оскар Больца. Поэтому, корректнее задача Больцы. К слову, поверхность Больцы (ссылка) называют правильно.
Лемма. Для задачи вариационного исчисления вида \[ \mathcal{B}(y(t)) = \int_{t_0}^{t_1} F(t, y(t), y'(t)) \, dt + G(y(t_0), y(t_1)) \rightarrow extr \] условие трансверсальности имеет вид: \[\begin{cases} \left[ F_{y'} \right]_{t=t_1} = & G_{y(t_1)} \\ \left[ F_{y'} \right]_{t=t_2} = - & G_{y(t_2)} \\ \end{cases}\]
Примечание: функцию \(G\) принято называть терминантом (напомню, что \(F\) называют интегрантом), а функционал \(\mathcal{B}\) - функционалом Больца/Больцы.
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_1^2 t^2 y'^2 \, dt - 2 y(1) + y^2(2) \]
Определение. Семейство кривых образуют собственное поле в заданной области, если через каждую точку области проходит кривая, причем ровно одна.
Определение. Семейство кривых образуют центральное поле в заданной области, если через каждую точку области проходит кривая и все кривые пересекаются ровно в одной точке (её называют центром).
Образуют ли поле следующие семейства кривых в указанных областях: