Запись семинара: youtube (30.09.23)
Сопоставим вариационное исчисление и математический анализ:
| Математический анализ | Вариационное исчисление |
|---|---|
| Переменная \(x\) | Функция \(y(t)\) |
| Функция \(f(x)\) | Функционал \(J(y(t))\) |
| Производная по направлению \(\nabla f(x) \cdot h\) | Вариация функционала \(\delta J\) |
| Необходимое условие экстремума \(\nabla f(x) = 0\) | Уравнение Эйлера \(F_y - \frac{d}{dt}F_{y'} = 0\) |
Обратим внимание, что уравнение Эйлера верно только для задачи вида: \[\tag{*} J(y) = \int_{t_0}^{t_1} F(t, y(t), y'(t)) \, dt \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 t^2 + y'^2 \, dt, \quad y(0) = 0, \quad y(1) = 2 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^2 7 (y')^3 \, dt, \quad y(0) = 9, \quad y(2) = 11 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 y + yy' + y' + \frac{1}{2} y'^2 \, dt, \quad y(0) = 2, \quad y(1) = 5 \]
В данном случае уравнение Эйлера имеет вид \[ \frac{d}{dt} F_{y'} = 0 \]
Можем проинтегрировать слева и справа и тогда получим \[F_{y'} = const\]
В данном случае всё тривиально, но полезно помнить, так как позволяет решать быстрее.
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 ty' + y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 1 \]
Для такого случая решение может быть найдено как: \[ \frac{d}{dt} \left( y' F_{y'} - F \right) = 0 \]
Важно: зачастую такую задачу может быть проще решить используя уравнение Эйлера.
Найти допустимую экстремаль функционала \[\int_0^1 y^2 + y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 0 \]
В данном случае уравнение Эйлера представляет из себя алгебраическое уравнение относительно \(y'\). А значит, его решение имеет вид \(y' = C_1\) (решение алгебраического уравнения это некая константа), и соответственно: \[ y = C_1 t + C_2 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 y'^5 + y'^4 + 8 y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 5 \]
В этом случае уравнение Эйлера вырождается в \[ F_y = 0 \] что не является дифференциальным уравнением в принципе. В таких задачах мы сразу находим решение относительно \(y\) и проверяем, удовлетворяет ли оно граничным условиям.
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 t^3 + \arcsin(t^2) + y^2 + 2y \, dt, \quad y(0) = y(1) = 1 \]
Рассмотрим следующий функционал: \[ \int_{t_0}^{t_1} F(t, y_1(t), y_1'(t), y_2(t), y_2'(t), \ldots, y_k(t), y_k'(t)) \, dt \]
Уравнение Эйлера превращается в набор независимых дифференциальных уравнений: \[F_{y_1} - \frac{d}{dt} F_{y_1'} = 0\] \[ \vdots \] \[ F_{y_k} - \frac{d}{dt} F_{y_k'} = 0 \]
Найти допустимые экстремали функционала \[ \int_1^2 y'^2 + z^2 + z'^2 dt, \quad y(1) = 1, \, y(2) = 2, \, z(1) = 0, \, z(2) = 1 \]
Рассмотрим следующий функционал: \[ \int_{t_0}^{t_1} F(t, y(t), y'(t), y''(t), \ldots, y^{(n)}(t)) \, dt \]
Для него уравнение Эйлера называется уравнением Эйлера-Пуассона и имеет вид: \[ F_y - \frac{d}{dt} F_{y'} + \frac{d^2}{dt^2} F_{y''} + \ldots = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{d^k}{dt^k} F_{y^{(k)}} \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 360 t^2 y - y''^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 0, \, y'(0) = 1, \, y'(1) = 2.5 \]