Запись семинара: youtube (30.09.23)
Сопоставим вариационное исчисление и математический анализ:
| Математический анализ | Вариационное исчисление |
|---|---|
| Переменная \(x\) | Функция \(y(t)\) |
| Функция \(f(x)\) | Функционал \(J(y(t))\) |
| Производная по направлению \(\nabla f(x) \cdot h\) | Вариация функционала \(\delta J\) |
| Необходимое условие экстремума \(\nabla f(x) = 0\) | Уравнение Эйлера \(F_y - \frac{d}{dt}F_{y'} = 0\) |
Обратим внимание, что уравнение Эйлера верно только для задачи вида: \[\tag{*} J(y) = \int_{t_0}^{t_1} F(t, y(t), y'(t)) \, dt \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 t^2 + y'^2 \, dt, \quad y(0) = 0, \quad y(1) = 2 \]
Используем уравнение Эйлера: \[ F_y = 0, \quad F_{y'} = 2y' \] \[ 0 - \frac{d}{dt}2y' = 0 \] \[ 2 y'' = 0\]
Для решения такого диффура просто интегрируем левую и правую часть: \[ y' = C_1 \] \[ y = C_1 t + C_2\]
Для нахождения констант используем граничные условия (\(y(0) = 0\) и \(y(1) = 2\)): \[\begin{cases} C_1 \cdot 0 + C_2 = 0\\ C_1 \cdot 1 + C_2 = 2\\ \end{cases}\]
\[\begin{cases} C_2 = 0\\ C_1 = 2\\ \end{cases}\]
Записываем ответ: \[ y(t) = 2t \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^2 7 (y')^3 \, dt, \quad y(0) = 9, \quad y(2) = 11 \]
Используем уравнение Эйлера: \[ 0 - \frac{d}{dt}21y'^2 = 0 \] \[ 42 y' y'' = 0 \]
Для того, чтобы выражение равнялось нулю необходимо, чтобы либо \(y' = 0\), либо \(y'' = 0\). Рассмотрим оба случая.
Случай 1. \(y' = 0\)
Решаем дифференциальное уравнение \[ y = C_1 \]
Такое решение не подходит, так как константа не может в точке \(t = 0\) равняться 9, а в точке \(t = 2\) быть равной 11.
Случай 2. \(y'' = 0\)
Решаем аналогично \[ y' = C_2 \] \[ y = C_2 t + C_3 \]
Из граничных условий получаем значение констант и пишем ответ: \[ y(t) = t + 9 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 y + yy' + y' + \frac{1}{2} y'^2 \, dt, \quad y(0) = 2, \quad y(1) = 5 \]
Используем уравнение Эйлера: \[ 1 + y' - \frac{d}{dt}(y + 1 + y') = 0 \] \[ 1 + y' - y' - y'' = 0 \] \[ 1 - y'' = 0 \] \[ y' = t + C_1 \] \[ y = \frac{t^2}{2} + C_1 t + C_2 \]
Находим константы из граничных условий и пишем ответ: \[ y(t) = \frac{t^2}{2} + 2\frac{1}{2} t + 2 \]
В данном случае уравнение Эйлера имеет вид \[ \frac{d}{dt} F_{y'} = 0 \]
Можем проинтегрировать слева и справа и тогда получим \[F_{y'} = const\]
В данном случае всё тривиально, но полезно помнить, так как позволяет решать быстрее.
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 ty' + y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 1 \]
\[ t + 2y' = C_1 \] \[ y' = C_2 - \frac{t}{2}, \quad C_2 = \frac{C_1}{2} \] \[ y = C_2 t - \frac{t^2}{4} + C_3 \]
Из граничных условий находим константы и пишем ответ: \[ y(t) = -\frac{t^2}{4} + \frac{t}{4} + 1 \]
Для такого случая решение может быть найдено как: \[ \frac{d}{dt} \left( y' F_{y'} - F \right) = 0 \]
Важно: зачастую такую задачу может быть проще решить используя уравнение Эйлера.
Найти допустимую экстремаль функционала \[\int_0^1 y^2 + y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 0 \]
\[ \frac{d}{dt} (y' \cdot 2y' - y^2 - y'^2) = \frac{d}{dt} (y'^2 - y^2) = 0 \] \[2y'y'' - 2y y' = 0 \] \[ y' (y'' - y) = 0 \]
То есть, либо \(y' = 0\) (с решением \(y = C_1\)), либо \(y'' - y = 0\) (с решением \(y = C_2 e^t + C_3 e^{-t}\)). Смотрим на граничные условия, и видим что нам подойдет решение \(y(t) = 0\), которое можно получить из обоих вариантов (\(C_1 = 0\) или \(C_2 = C_3 = 0\) соответственно).
Из интересного, уравнение \(y'' - y = 0\) мы получаем из уравнения Эйлера (можете в этом убедиться сами).
В данном случае уравнение Эйлера представляет из себя алгебраическое уравнение относительно \(y'\). А значит, его решение имеет вид \(y' = C_1\) (решение алгебраического уравнения это некая константа), и соответственно: \[ y = C_1 t + C_2 \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 y'^5 + y'^4 + 8 y'^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 5 \]
\[y(t) = 5\]
Так как это единственная линейная функция, удовлетворяющая граничным условиям.
В этом случае уравнение Эйлера вырождается в \[ F_y = 0 \] что не является дифференциальным уравнением в принципе. В таких задачах мы сразу находим решение относительно \(y\) и проверяем, удовлетворяет ли оно граничным условиям.
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 t^3 + \arcsin(t^2) + y^2 + 2y \, dt, \quad y(0) = y(1) = 1 \]
Найдем производную подинтегрального выражения по \(y\):
\[ 2y + 2 = 0 \] \[ y = -1 \]
Это не решение, так как не удовлетворяет граничным условиям!
Рассмотрим следующий функционал: \[ \int_{t_0}^{t_1} F(t, y_1(t), y_1'(t), y_2(t), y_2'(t), \ldots, y_k(t), y_k'(t)) \, dt \]
Уравнение Эйлера превращается в набор независимых дифференциальных уравнений: \[F_{y_1} - \frac{d}{dt} F_{y_1'} = 0\] \[ \vdots \] \[ F_{y_k} - \frac{d}{dt} F_{y_k'} = 0 \]
Найти допустимые экстремали функционала \[ \int_1^2 y'^2 + z^2 + z'^2 dt, \quad y(1) = 1, \, y(2) = 2, \, z(1) = 0, \, z(2) = 1 \]
Решаем по \(y\): \[ 0 - \frac{d}{dt} 2 y' = 0 \] \[y'' = 0\] \[y = C_1 t + C_2\]
Граничным условиям удовлетворяет \[ y(t) = t \]
Переходим к \(z\): \[ 2z - \frac{d}{dt} 2z' = 0 \] \[z - z'' = 0\] \[ z = C_3 e^t + C_4 e^{-t} \]
Константы \(C_3, C_4\) определяются из граничных условий: \[ z(t) = \frac{e^t}{e^2 - 1} - \frac{e^{2-t}}{e^2 - 1} \]
Рассмотрим следующий функционал: \[ \int_{t_0}^{t_1} F(t, y(t), y'(t), y''(t), \ldots, y^{(n)}(t)) \, dt \]
Для него уравнение Эйлера называется уравнением Эйлера-Пуассона и имеет вид: \[ F_y - \frac{d}{dt} F_{y'} + \frac{d^2}{dt^2} F_{y''} + \ldots = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{d^k}{dt^k} F_{y^{(k)}} \]
Найти допустимую экстремаль функционала \[ \int_0^1 360 t^2 y - y''^2 \, dt, \quad y(0) = y(1) = 0, \, y'(0) = 1, \, y'(1) = 2.5 \]
Решаем с помощью уравнения Эйлера-Пуассона: \[ 360 t^2 - 0 + \frac{d^2}{dt^2} (- 2y'') = 0 \] \[ 180t^2 - y^{(4)} = 0 \] \[ y'''= 60t^3 + C_1 \] \[ y'' = 15t^4 + C_1 t + C_2 \] \[ y' = 3 t^5 + \frac{C_1}{2} t^2 + C_2 t + C_3 \] \[ y = \frac{t^6}{2} + \frac{C_1}{6} t^3 + \frac{C_2}{2} t^2 + C_3 t + C_4 \]
Важно: в задачах такого рода важно, чтобы коэффициенты не переобозначались, так как система уравнений для их нахождения использует выражения и для \(y\), и для \(y'\): \[\begin{cases} y(0) = 0 & \Rightarrow C_4 = 0 \\ y(1) = 0 & \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{C_1}{6} + \frac{C_2}{2} + C_3 + C_4 = 0 \\ y'(0) = 1 & \Rightarrow C_3 = 1 \\ y'(1) = 2.5 & \Rightarrow 3 + \frac{C_1}{2} + C_2 + C_3 = 2.5 \\ \end{cases}\]
Из граничных условий находим значения коэффициентов: \[ y = \frac{t^6}{2} + \frac{3}{2} t^3 - 3 t^2 + t \]