← Назад

Семинар 3. Первая вариация функционала. Производная Гато

Содержание

• Материалы
  • Видеозаписи
• Вариация функционала
  • Классическая задача
  • Производная по направлению
  • Производная Гато
• Задачи на первую вариацию
  • Задача 1
  • Задача 2
  • Задача 3

Материалы

Видеозаписи

Запись семинара: youtube (23.09.23)

Вариация функционала

Классическая задача

Лагранж в 1760 году рассматривал классическую задачу: \[ J( x) = \int\limits _ { t _ {0} } ^ { {t _ 1 } } L( t, x ( t), \dot{x} ( t)) dt \]

Если для некоторой функции \(x_0(t)\) подставим \(x_0(t) + \alpha h(t)\), то получаем (в предположении непрерывности \(L\)): \[\tag{1} J( x _ {0} + \alpha h) = J( x _ {0} ) + \alpha J _ {1} ( x _ {0} )( h)+ r( \alpha ) \] где \(|r(\alpha)| \rightarrow 0\) при \(\alpha \rightarrow 0\), \(h(t)\) называют вариацией функции \(x_0(t)\) и обозначают \(\delta x_0(t)\).

Выражение \( J_1(x_0)(h) \), которое является функционалом по отношению к вариации \(h\), называют первой вариацией функционала и обозначают \(\delta J(x_0, h)\). В приложении к классической задаче (!) первая вариация имеет вид: \[ J_1(x_0)(h) = \int_{t_0}^{t_1} \left( L_{\dot{x}} \dot{h}(t) + L_{x} h(t) \right) dt \]

Для задач, отличных от постановки выше (например со слагаемым вне интеграла) можно использовать следующие способы:

1. Выделение линейной части приращения функционала.

   Заменяем \(y \rightarrow y + \delta y, \, y' \rightarrow y' + \delta y'\). В выражении \( J(y + \delta y) - J(y) \) оставляем только слагаемые, линейные по вариации функции \(y\) и её производным, то есть \( \delta y, \, \delta y' \).

   Замечание: \(\delta y \cdot \delta y'\) не подходит, по аналогии с тем, что \(x \cdot y\) это не линейная функция

2. Через частную производную по \(\alpha\):

   \( \delta J = \frac{d}{d\alpha} J(y + \alpha \delta y) \left.\right|_{\alpha = 0} \). Эту формулу несложно получить из уравнения (1).

Производная по направлению

Определение. Производной по направлению для дифференцируемой в точке \(x_0\) функции \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) вдоль вектора (направления) \(v \in \mathbb{R}^n\) называют функцию: \[ \nabla_v f = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tv) - f(x_0)}{t} \]

Обратим внимание, что для вычисления в направлении единичного вектора проще использовать: \[ \nabla_v f = \left\langle \nabla f, v \right\rangle \] где \(v\) в данном случае единичный вектор (орт). Ниже на изображении (взятом с Википедии) пример для функции \(f(x, y) = x^2 + y^2\) в точке \((-5, -5)\).

Производная Гато

В 1913 году Рене Гато предлагает обобщение первой вариации для бесконечномерного анализа. Пусть \(X, Y\) - линейные топологические пространства, тогда для отображения \(f: X \rightarrow Y\) вариация Гато (слабая вариация) задается следующим пределом (в топологии \(Y\)): \[ \delta f(x_0, h) = \frac{d}{dt} f(x_0 + th) \left. \right|_{t=0} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + th) - f(x_0)}{t} \] в предположении, что он существует для всех \(h \in X\).

Начиная с работы Поля Леви 1922, принято предполагать линейность и непрерывность \(\delta f(x_0, h)\) по \(h\): \[ \delta f(x_0, h) = f'_G(x_0)h \] где (ограниченный) оператор \(f'_G: X \rightarrow Y\) называют производной Гато. \[ \ \]

Задачи на первую вариацию

Задача 1

\[J(y) = \int_a^b (y^2 - y'^2)dt\]

Найдите \(\delta J\)

Задача 2

\[ J(y) = \int_{-1}^1 y'^2 + 2 y^3 y' + y \sin(t) \, dt \]

Найдите \(\delta J\)

Задача 3

\[ J(y) = y^2(0) + \int_0^1 ty + y'^2 \, dt \]