Запись семинара: youtube (02.12.23)
Постановка задачи:
В начальный момент времени: \[ w(0) = 0, \quad A_1(0) = 0, \quad A_2(0) = 0 \]
Задача состоит в максимизации цены портфеля в последний момент времени: \[ w(T) + \theta_1(T) A_1(T) + \theta_2(T) A_2(T) \rightarrow \max \]
Так же есть уравнения, описывающие и ограничивающие покупку/продажу акций: \[ A_1' = u_1, \quad u_1 \in [-a_1, a_1] \] \[ A_2' = u_2, \quad u_2 \in [-a_2, a_2] \] где \(a_1, a_2 \in \mathbb{R}_{+}\), а \(u_1(t), u_2(t)\) - управления в данной задаче.
Наконец, не забудем про финансовый баланс: \[ \theta_1(t) \frac{d}{dt} A_1(t) + \theta_2(t) \frac{d}{dt} A_2(t) = - \frac{d}{dt} w(t) \] или же выразим ликвидность и запишем через штрихи: \[ w' = -\theta_1 A_1' - \theta_2 A_2' \]
Запишем задачу максимизации в более привычном нам виде: \[ \int_0^T \frac{d}{dt} \left[ w(t) + \theta_1(t) A_1(t) + \theta_2(t) A_2(t) \right] \, dt \rightarrow \max \] \[ \int_0^T w' + \theta_1 A_1' + \theta_1' A_1 + \theta_2 A_2' + \theta_2' A_2 \, dt \rightarrow \max \]
Подставляем \(w'\) из финансового баланса: \[ \int_0^T \theta_1' A_1 + \theta_2' A_2 \, dt \rightarrow \max \]
Используем принцип максимума Понтрягина (задача двумерная с двумя управлениями, но она распадается на две независимых задачи). Решим для \(A_1\) (для \(A_2\) решение аналогичное): \[ H = \theta_1' A_1 + \theta_2' A_2 + \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 \] \[ \max_{u_1} H: \, u_1 = \begin{cases} a_1, & \lambda_1 > 0 \\ -a_1, & \lambda_1 < 0 \\ [-a_1, a_1], & \lambda_1 = 0 \\ \end{cases}\]
Решаем уравнение для \(\lambda_1'\): \[ \lambda_1' = -\theta_1' \Rightarrow \lambda_1(t) = -\theta_1(t) + C_1 \]
Из условия трансверсальности найдем константу: \[ \lambda_1(T) = 0 \Rightarrow -\theta_1(T) + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = \theta_1(T) \] \[ \lambda_1(t) = \theta_1(T) - \theta_1(t) \]
Уравнение для \(A_1(t)\) решать не будем, так как в данной задаче нам важнее уравнение для двойственной функции \(\lambda_1(t)\), так как из него получаем стратегию: